상대론적 운동량을 통한 E = mc^2을 증명하는 간략한 방법

상대론적 운동량에 의하면, 운동하고 있는 물체의 질량 $m_v$는 다음과 같이 표현된다.

$$m_v = {m_0 \over \sqrt {1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}}$$

또한, $f(x) = {1 \over \sqrt {1 - x^2}}$는 테일러 급수에 의해 $x$가 0에 근접하면 $1+{1 \over 2} x^2$에 근사한다. 일반적으로 v는 광속 c에 비하면 매우 작은 수이므로, $v \over c$는 0에 근접한다.

$$\begin{matrix} m_v &=& {m_0 \over \sqrt {1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \\       &=& m_0({1+{1 \over 2} \left( \frac{v}{c} \right)^2}) \\ \\ \therefore c^2(m_v - m_0) &=& {1 \over 2} m_0 v^2 \end{matrix}$$

여기서, $m_v - m_0 = \Delta m$이며 ${1 \over 2} m_0 v^2 = {1 \over 2} m_0 v^2 - {1 \over 2} m_0 0^2$이고 이것은 고전역학에서 정지상태의 운동에너지의 변화량 $\Delta E$와 같다.

따라서, $\Delta E = \Delta m c^2$이다.