1. Introduction 베르트랑 역설을 통해, 우리는 라플라스가 정의한 확률의 고전적 정의에 문제가 있음을 알게되었다. 이번 포스트에서는 확률의 공리적 정의를 통해 확률을 정의하는 방법을 탐구한다. 2. Approach 러시아의 수학자 콜모고로프 (Kolmogorov)는 페아노 공리계에 의해 자연수가 정의되었듯이, 확률도 이런 방법을 통해 정의하는 것이 어떤지 생각했다. 먼저, 우리가 기본적으로 확률이라고 확신할 수 있는 것들로부터 공통된 특성을 공리로 정의한다. 물론, 공리는 최소화 할 수록 좋다. 표본공간 $S$, 사건 $A와 B$, 사건이 일어날 확률 P에 대해 다음과 같은 기본 성질을 만족하는 것을 알 수 있다. $0 \le P(A) \le 1$ $P(S) = 1$ $P(\varnothing..

1. Introduction 이 포스트에서는 베르트랑의 역설을 통하여, 확률의 고전적 정의가 가지는 한계를 알아본다. 1.1 확률의 고전적 정의 중학교 때 (현재 교육과정에서는 어떤 지 모르겠다) 필자는 "어떤 사건의 확률이란 전체 사건이 일어나는 경우의 수에 대해 그 사건이 일어나는 경우의 수가 가지는 비율"이라고 배웠다. 이 정의는 흔히 라플라스 변환으로 익숙한 "피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)"가 실제로 정의한 것이다. 1.2 베르트랑의 역설 (Bertrand's Paradox) 베르트랑의 역설은 조세프 베르트랑 (Joseph Bertrand)이 제안한 역설이다. 러셀의 역설을 제안한 버트란드 러셀과는 다른 사람이니까 주의하자. 베르트랑의 역설은 다음과 같은 명제를 의미..

1. Introduction 두 확률 변수의 사전 확률과 사후 확률 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 조건부 확률 $P(A|B)$를 알고 싶은데, 가지고 있는 정보가 $P(A), P(B), P(B|A)$일 때, 이를 통해 알아내는 정리이다. 2. Approach 유도는 어렵지 않다. 이전의 조건부 확률의 확장이다. $$P(A|B) = {P(A\cap B)\over P(B)} = {P(B|A)P(A)\over P(B)} = {P(B|A)P(A)\over P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)}$$ 여기서, $P(A|B)$는 사후확률 (Posterior Probability)로 구하고자 하는 사건(B가 일어났을 때 A)의 확률이다. $P(A)$는 사전확률 (Prior Probability)로 B가 일..

1. Introduction 조건부 확률은 사건 B가 일어나는 경우에 사건 A가 일어날 확률을 말한다. 사건 B가 일어나는 경우에 사건 A가 일어날 확률 $P(A|B) = {P(A\cap B)\over P(B)}$로 정의한다. 사건 B가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률은 사건 B의 영향을 받아 변하게 된다. 2. Application 조건부 확률에서는 교환 법칙이 성립하지 않는다. 다음과 같은 수식을 보자. $$P(A|B) = {P(A\cap B)\over P(B)}$$ $$P(B|A) = {P(B\cap A)\over P(A)}$$ 이와 같이 교환 법칙이 성립하지 않는다. 이 성질을 이용해 사기꾼들은 교묘하게 약을 팔 수가 있다. 이 내용은 뒤에서 다루도록 한다. 또한, 전체확률의 법칙 (전확률 법..