1. Introduction 랜덤오차가 정규분포를 따를 때 회귀모형 이에 따른 반응변수의 분포 2. Method of Least Squares (최소제곱법) 모든 관측값에 대한 오차(관측값과 추정된 회귀직선 사이의 거리)의 제곱의 합을 최소화하도록 회귀계수를 추정하는 방법 3. 최소제곱추정량의 특성 4. 잔차의 특성 5. 최대우도추정법 6. 오차분산 𝝈^𝟐 의 추론 7. 회귀계수 𝜷_𝟏의 추론 8. 회귀계수 𝜷_0의 추론 9. 평균반응값 𝑬(𝒀_𝒊 )의 추론 10. 𝑋_0가 주어질 때 𝑌_0의 예측구간 11. 회귀모형의 추론에서 유희할 사항

1. Introduction 여러분은 합동식 (Congruence)에 대해 알고 있는가? 아마 이과라도 정규 교육과정만 배웠다면 합동식에 대해 들어본 적 없을 수 있다. 컴공정도는 되어야 익숙하게 설명할 수 있을 듯한 이 합동식은 사실 정수론의 핵심적인 이론이다. 합동식의 정의는 다음과 같다. "정수 $a,b,m$에 대하여, $m∣(a−b)$일 때, $a$는 법 $m$에 대하여 $b$와 합동이다." 이때, 기호로는 $$a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right)$$라고 쓴다. $m$를 합동의 법(modular)이라고 한다. 이해하기 어려운가? 간단하게 말해서, "$a$를 $m$으로 나눈 나머지와 $b$를 $m$으로 나눈 나머지는 같다." 라는 것과 같은 말이다. 컴공에서는 합동식이 결..

1. Definition 어떤 명제에 대해 데이터 분석으로 얻어낸 패턴에 해당하는 경우의 수 = $N_{find}$ 어떤 명제에 대해 랜덤 패턴으로 뽑아서 얻어낸 경우의 수 = $N_{random}$ 만약 $N_{random} > N_{find}$이면, $N_{find}$을 얻는데 사용한 패턴은 쓸모없는 패턴이다. 이것은 본페로니의 원칙 (Bonferroni's principle)이라고 한다. 2. Example 적어도 2번 이상 같은 날 같은 호텔에서 보낸 상관없는 사람들을 의심스러운 사람이라고 생각해도 될까? 가정: $10^9$의 사람들이 있음. 1000일 동안 집계. 집계시간의 1%의 시간은 호텔에서 보냄 (즉, 100일에 한번꼴로 호텔에서 보냄.) 호텔은 100명의 사람들이 묵고있음. 호텔은 $1..

1. Introduction 베르트랑 역설을 통해, 우리는 라플라스가 정의한 확률의 고전적 정의에 문제가 있음을 알게되었다. 이번 포스트에서는 확률의 공리적 정의를 통해 확률을 정의하는 방법을 탐구한다. 2. Approach 러시아의 수학자 콜모고로프 (Kolmogorov)는 페아노 공리계에 의해 자연수가 정의되었듯이, 확률도 이런 방법을 통해 정의하는 것이 어떤지 생각했다. 먼저, 우리가 기본적으로 확률이라고 확신할 수 있는 것들로부터 공통된 특성을 공리로 정의한다. 물론, 공리는 최소화 할 수록 좋다. 표본공간 $S$, 사건 $A와 B$, 사건이 일어날 확률 P에 대해 다음과 같은 기본 성질을 만족하는 것을 알 수 있다. $0 \le P(A) \le 1$ $P(S) = 1$ $P(\varnothing..

1. Introduction 호제법은 유클리드의 저서 원론에 적혀있는, 인류 최초의 알고리즘이다. 두 수의 최대공약수를 구하는 방법으로, 정의는 다음과 같다. 두 양의 정수 $a, b (a > b)$에 대하여 $gcd(a, b) = gcd(b, (a\bmod b))$이다. 2. Proof $gcd(a, b)=G$라 하자. 그럼 적당한 서로소인 정수 $A, B$에 대해 $a=GA, b=GB$가 성립한다. 이를 $a=bq+r$에 대입하면, $GA=GBq+r$이고, $r=G(A−Bq)$이다. 여기서 $G$는 $b$와 $r$의 공약수임을 알 수 있다 ($b=GB, r=G(A−Bq)$). 만약 $B$와 $A−Bq$ ($b$와 $r$에서 $G$를 제외한 남은 부분)가 서로소이기만 하면, 즉 $gcd(B, A−Bq)..

1. Introduction 정수론과 암호학을 공부하다보면, 매우 큰 수에 대해 나머지를 알아야 하는 경우가 생긴다. 그 수가 소인수분해가 된다면 나머지를 얻어내는데 큰 어려움이 없겠지만, 그렇지 않다면 그 수를 $N = a^b + R$의 형태로 나누어 계산해야한다. $a^b$의 나머지를 알 수 있으면 $R$은 상대적으로 작은 수이기 때문에 나머지를 얻어내는데 큰 어려움을 갖지 않는다. 따라서 이번 포스팅에서는 $a^b$의 나머지를 찾아내는 방법을 알아보도록 한다. 2. Approach 기본적인 아이디어는 $ab \bmod m = (a \bmod m)(b \bmod m) \bmod m$에서 착안한다. 지수를 2의 거듭제곱의 합 형태로 나타내어 표현하는 것이다. $5^{117} \bmod 19$를 예로 들..

1. Introduction 우리나라의 수학교과 과정에서 근의 공식을 암기하는 것은 필수적이다 (공식 자체보다 유도하는 과정이 더 중요함에도 불구하고). 학생들이 처음 경험하는 난잡한 모양의 공식에도 불구하고, 판별식의 개념을 이해하기 위해 필수적이다. 하지만 공식의 난해함과 유도의 복잡성 때문에 교과 과정에서는 2차 근의 공식만을 배우게 된다. 이 글을 읽는 여러분은 학생때 배운 2차 근의 공식을 기억하고 있는가? (근의 공식이 등장하는 SNL 화산외고편. 웃기니까 안 본 사람은 한번 시청하길 바람ㅋㅋ) 수학교과 과정에서는 3차 방정식에 대한 내용을 배우면서도 3차 근의 공식을 따로 배우지는 않는다. 그러나 3차 근의 공식의 해법은 이미 16세기 (!)에 카르다노에 의해 알려졌다. 2. Proof 16..

1. Introduction 이 포스트에서는 베르트랑의 역설을 통하여, 확률의 고전적 정의가 가지는 한계를 알아본다. 1.1 확률의 고전적 정의 중학교 때 (현재 교육과정에서는 어떤 지 모르겠다) 필자는 "어떤 사건의 확률이란 전체 사건이 일어나는 경우의 수에 대해 그 사건이 일어나는 경우의 수가 가지는 비율"이라고 배웠다. 이 정의는 흔히 라플라스 변환으로 익숙한 "피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)"가 실제로 정의한 것이다. 1.2 베르트랑의 역설 (Bertrand's Paradox) 베르트랑의 역설은 조세프 베르트랑 (Joseph Bertrand)이 제안한 역설이다. 러셀의 역설을 제안한 버트란드 러셀과는 다른 사람이니까 주의하자. 베르트랑의 역설은 다음과 같은 명제를 의미..