확률의 공리적 확장 - 공리적 확률

1. Introduction

베르트랑 역설을 통해, 우리는 라플라스가 정의한 확률의 고전적 정의에 문제가 있음을 알게되었다.

이번 포스트에서는 확률의 공리적 정의를 통해 확률을 정의하는 방법을 탐구한다.

2. Approach

러시아의 수학자 콜모고로프 (Kolmogorov)는 페아노 공리계에 의해 자연수가 정의되었듯이, 확률도 이런 방법을 통해 정의하는 것이 어떤지 생각했다.

콜모고로프

먼저, 우리가 기본적으로 확률이라고 확신할 수 있는 것들로부터 공통된 특성을 공리로 정의한다.

물론, 공리는 최소화 할 수록 좋다.

표본공간 $S$, 사건 $A와 B$, 사건이 일어날 확률 P에 대해 다음과 같은 기본 성질을 만족하는 것을 알 수 있다.

1. $0 \le P(A) \le 1$
2. $P(S) = 1$
3. $P(\varnothing) = 0$
4. $P(A) + P(A^c)=1$
5. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
6. $When \; A\cap B=\varnothing, \; P(A \cup B) = P(A)+P(B)$
7. $When \; A \subset B, \; P(A) \le P(B)$

현대 확률론에서는 이 중에 3가지를 공리로 인정한다.

1, 2, 6이 공리인데, 그렇다면 나머지 성질을 이것들로 증명할 수 있어야한다.

3. Proof

3번 : 6번에 의해, $P(S \cap \varnothing ) = P(S) + P(\varnothing )$ 따라서, $P(\varnothing ) = 0$

4번 : $A \cap A^c = \varnothing $이므로, 6번에 의해 $P(A) + P(A^c) = P(A \cup A^c) = P(S) = 1$

5번 : $A \cup B = A \cup (B-A)$이고, $A \cap (B-A) = \varnothing $이므로, 6번에 의해 $P(A \cup B) = P(A)+ P(B-A).$ 한편, $B = (A \cap B) \cup (B-A), (A \cap B) \cap (B-A) = \varnothing $이므로, $P(B) = P(A \cap B) + P(B-A).$ 따라서, $P(B-A) = P(B) - P(A \cap B)$이고 $A \cup B = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

7번: $A \subset B$일 때, $B = A \cup (B-A)$이므로 $P(B) = P(A) + P(B-A) \ge P(A)$