베르트랑의 역설과 확률의 고전적 정의

1. Introduction

이 포스트에서는 베르트랑의 역설을 통하여, 확률의 고전적 정의가 가지는 한계를 알아본다.

1.1 확률의 고전적 정의

중학교 때 (현재 교육과정에서는 어떤 지 모르겠다) 필자는 "어떤 사건의 확률이란 전체 사건이 일어나는 경우의 수에 대해 그 사건이 일어나는 경우의 수가 가지는 비율"이라고 배웠다.

이 정의는 흔히 라플라스 변환으로 익숙한 "피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)"가 실제로 정의한 것이다.

피르시에몽 라플라스

1.2 베르트랑의 역설 (Bertrand's Paradox)

베르트랑의 역설은 조세프 베르트랑 (Joseph Bertrand)이 제안한 역설이다. 러셀의 역설을 제안한 버트란드 러셀과는 다른 사람이니까 주의하자.

베르트랑의 역설은 다음과 같은 명제를 의미한다.

원에 내접하는 정삼각형을 그리고 원에서 임의의 현을 선택할 때, 현의 길이가 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률은 얼마인가?

2. Process

베르트랑의 역설의 답을 찾기 위해 여러방법으로 접근해 볼 수 있다. 다음과 같은 방법을 살펴보자.

2.1 Random Endpoint

첫번째는 현의 종점을 무작위로 놓는 (random endpoint) 해법이다. 오른쪽 그림과 같이 현의 시작점을 삼각형의 한 꼭짓점으로 고정해도 문제의 일반성을 잃지 않는다. 이 경우 현이 삼각형의 한 변보다 길어지기 위해서는 시작점의 반대쪽에 있는 변을 지나야 한다. 이 조건을 만족하기 위해서는 현과 시작점에서의 원의 접선이 이루는 각도가 60~120도가 되어야 한다. 현을 정의할 수 있는 각도는 0~180도 이므로 60/180 = 1/3.

2.2 Random Radius

두번째는 현과 원의 중심 사이의 거리를 무작위로 놓는 (random radius) 해법이다. 오른쪽 그림과 같이 삼각형의 한 변과 평행한 현을 생각하자. 이 경우 현이 변보다 안쪽에 있어야 변보다 길어질 수 있다. 원의 내접 정삼각형의 변은 반지름을 이등분하므로 1/2.

2.3 Random Midpoint

마지막은 현의 중점을 무작위로 놓는 (random midpoint) 해법이다. 삼각형에 내접하는 원을 그리고, 바깥쪽 원에 임의의 현을 하나 놓는다. 삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현은 안쪽 원을 지나며 현의 중점은 안쪽 원 안에 있다. 즉 현의 중점이 안쪽 원에 놓일 확률을 구하면 된다. 안쪽 원의 반지름은 바깥쪽 원의 반이므로 넓이는 4배 차이가 난다. 1/4.

직관적으로 이해하기 어렵지 않으며 해설의 틀린 부분도 보이지 않는다. 해설의 출처는 위키피디아.

3. Solution

그럼 이중에 정답은 무엇일까?

아쉽게도 이 3가지 방법 모두 정답이 될 수 있다.

이게 무슨 헛소린가 싶을 수 있지만, 이것은 고전적인 확률의 정의에 의해 생기는 문제이다.

수학자들은 이를 해결하기 위해, 새로운 확률의 정의를 도입하게 된다.

3.1 빈도주의 (Frequentism) 학파

로널드 피셔 (Ronald Fisher)

로널드 피셔로 대표되는 빈도주의는 확률이 전제적인 입장에서 딱 떨어지는 것이 아니라, 직접 시행할 수 있는 사건만이 확률이라고 본다. 즉, 통계적 확률이야 말로 진짜 확률이며, 이를 무한정 실행할 수 있을 때야 말로 정확한 확률을 계산할 수 있다고 생각했다.

빈도주의와 고전적 확률 모두 객관적인 입장에서 확률을 정의한다. 또한 확률의 정의에 반복적인 시행이 요구되기 때문에, 시행의 횟수가 한계적이거나, 미래의 일어나지 않는 사건의 정확한 확률을 정의할 수 없다.

빈도주의 학파의 관점에서 베르트랑 역설은 정의될 수 없으며, 2장의 방법들 중 하나를 선택해야만 실제로 시행할 수 있으므로 문제가 해결된다.

3.2 베이즈 (Bayesian) 학파

토마스 베이즈 (Thomas Bayes)

베이즈 통계는 모든 확률은 불안정하며, 확률은 믿음의 정도로 해석한다. 베이즈 확률에서는 불안정한 사전 확률 (Prior Probability)가 존재하며, 여기에 보다 정확한 확률을 위해 증거 (Evidence)를 사용하여 해당 확률을 보완한다. 여기에는 그 증거가 관찰될 확률, 즉 우도 (Likelihood)만 알면된다. 이렇게 갱신된 사후 확률 (Posterior Probability)은 이전보다 정확하다고 판단하며, 추후에 다시 새로운 증거를 확보하여 갱신하는 것으로 완벽한 확률에 다가간다.

베이즈 학파는 주관적인 입장에서 확률을 정의한다. 베이즈 학파의 확률은 사용되는 증거에 따라 다른 양상을 보이고 하나의 특정한 확률이 정답이라기 보다는 그냥 다수가 인정하는 확률을 당장은 정답이라고 보는 편이다. 빈도주의와 달리, 시행의 횟수가 한계적이거나, 미래의 일어나지 않은 사건에 대해서도 주관적인 확률을 얻을 수 있다.

베이즈 학파의 관점에서 베르트랑 역설은 2장의 방법들을 증거로 사용하여 베르트랑 역설의 확률을 정의한다.

 

3.3 공리적 확률

집합론에서 러셀의 역설에 의해 기존의 집합체계가 무너지고 새로운 공리계를 기반으로한 집합체계가 구성된 것 처럼, 확률체계도 똑같다. 확률을 정의할 수 있는 사건에서 공통적으로 나타나는 공리들을 먼저 정의하고 그 공리를 만족하는 사건으로 부터 확률을 정의한다.

자세한 내용은 후에 작성될 포스트에서 풀어보도록 한다.