조건부 확률 (Conditional Probability)

1. Introduction

조건부 확률은 사건 B가 일어나는 경우에 사건 A가 일어날 확률을 말한다. 사건 B가 일어나는 경우에 사건 A가 일어날 확률 $P(A|B) =  {P(A\cap B)\over P(B)}$로 정의한다. 사건 B가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률은 사건 B의 영향을 받아 변하게 된다.

2. Application

조건부 확률에서는 교환 법칙이 성립하지 않는다. 다음과 같은 수식을 보자. 

$$P(A|B) =  {P(A\cap B)\over P(B)}$$ $$P(B|A) =  {P(B\cap A)\over P(A)}$$

이와 같이 교환 법칙이 성립하지 않는다. 이 성질을 이용해 사기꾼들은 교묘하게 약을 팔 수가 있다. 이 내용은 뒤에서 다루도록 한다.

또한, 전체확률의 법칙 (전확률 법칙, Law of total probability)이 정의되는데,

$$Let \; {A \subset B}, \; {B_1\cap B_2} = \varnothing, \; {B_1\cup B_2} = B$$ $$Then, \; P(A)$$ $$= P(A|B)P(B)$$ $$= P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)$$

으로 표현되고 특히, $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$로 표현된다.

3. Discussion

발터 크래머의 책 '확률게임'에서는 위에서 설명했던 약팔이에 관한 내용이 나온다.

자동차 사고로 사망한 사람의 40%는 안전벨트를 매지 않았다고 한다. 그런데 뒤집어서 말하면 자동차 사고로 사망한 사람의 60%는 안전벨트를 매고도 죽었다는 뜻인데, 그렇다면 안전벨트가 더 위험한 것 아닌가?

전형적인 표본오류이다. 충치걸린 사람들이 대부분 이를 닦았다고 이 닦는 것이 충치의 원인이라고 주장하는 수준. 안전벨트 맨 사람 중에서 교통사고로 사망할 확률을 보아야 하는데, 교통사고로 사망한 사람들 중에서, 안전벨트 맸을 확률을 보았다.

사건 A를 운전자가 안절 벨트를 매는 사건, 사건 B를 교통사고로 사망하는 사건이라고 하자. 또한, $P(A) = 0.95,\; P(B) = 0.0001$ 이라고 하자. 위의 인용문에서 $P(A|B) = 0.6$임을 알 수 있다.

실제로 안절벨트의 안전성을 나타내는 지표는 안전벨트를 맨 사람 중에서 교통사고로 사망할 확률이므로, 이는 $P(B|A)$에 해당한다.

$$P(B|A) = {P(A\cap B) \over P(B)} = {P(A|B)P(B) \over P(A)} = {0.6 * 0.0001\over 0.95} = 0.000063(약 16,000명당 1명꼴)$$ 안전벨트를 매지 않은 사람 중에서 교통사고로 사망할 확률은는 $P(B|A^c)$에 해당한다.

$$P(B|A^c) = {P(A^c\cap B) \over P(B)}  = {P(A^c|B)P(B) \over P(A^c)} = {0.4 * 0.0001\over 0.05} = 0.0008(약 1,250명당 1명꼴)$$

즉, 예상했듯이 안전띠를 매지 않은 경우에 자동차 사고로 사망할 확률이 안전띠를 맸을 때보다 10배 이상 큰 것을 알 수 있다.

푸는 사람의 직관을 매우 쉽게 흔드는 몬티홀 문제가 조건부 확률에 관한 문제이다.