항등원과 역원의 유일성에 대한 간단한 증명

1. Indentity

집합 $G$와 이항연산 $*$, $*$의 항등원 $e$에 대해, $e$와 다른 항등원 $e'$이 있다고 가정하자.

항등원의 정의에 따라, $e = e * e' = e'$ 이다. 이는 가정에 모순이므로, 항등원은 유일하다.

2. Inverse

집합 $G$와 이항연산 $*$, $G$의 원소 $a$, $a$의. 역원 $x$에 대해. $x$와 다른 $a$의 역원 $x'$가 있다고 가정하자.

역원의 정의에 따라, $x = x * e = x * (a * x') = (x * a) * x' = e * x' = x'$이다. 이는 가정에 모순이므로, 역원은 유일하다.