유클리드 기하학의 다섯 공리

1. Introduction

유클리드 (Euclid)의 저서인 'Elements of Geometry (원론)'에 등장하는 다섯 공리이다.

유클리드

해당 공리는 다음과 같다.

• ​서로 다른 두 점이 주어졌을때, 그 두 점을 잇는 선분을 그을 수 있다.
• 임의의 선분은 더 연장할 수 있다.
• 서로 다른 두 점 A, B에 대해, 점 A를 중심으로하고 선분 AB를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.
• 모든 직각은 서로 같다.
• 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 180˚ 보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 그 쪽에서 반드시 만난다. (평행선 공리, 제5공준)

유클리드 본인도 기하학 공리 중 앞의 4개는 명백해 보였으나 평행선 공리는 이것이 정말 공리가 맞는지, 즉 혹시 앞의 4개로부터 연역적으로 추론할 수 있는 것은 아닌지 확실하지 않았다고 한다. 그래서 유클리드를 포함한 후세의 수학자들은 기하학의 문제를 증명할 때 가급적 평행선 공리를 쓰지 않고 증명하고자 하는 경향이 있었다.

평행선 공리가 공리인지 아닌지 밝히고자 하는 노력이 잘 되지 않자 19세기 수학자들은 전략을 바꿔, 평행선 공리가 거짓이라고 가정하면 모순이 발생함을 보이고자 했다.

그런데 원래 의도와는 달리, 평행선 공리를 거짓으로 하는 새로운 공리계를 만들었더니 아무런 모순이 발견되지 않았다. 그리하여 19세기에 이르러 제5공준을 부정하는 기하학이론 체계가 완성되면서 비유클리드 기하학이라는 이름이 붙고, 제5공준을 받아들이는 기하학을 유클리드 기하학이라고 부르게 된다.