[2019 IMO] Day 1 - Question 1

1. Question

Let, $\mathbb{Z}$ be the set of integers. Determine all functions $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ such that, for all integers $a$ and $b$, $$f(2a) + 2f(2b) = f(f(a+b))$$

2. Approach

일단 괜히 IMO 문제를 정석으로 접근했다가는 시간만 날릴 것 같아 시작하자마자 필살기를 시전했다.

사실 정수에 해당하는 정의역을 가지고 있다고 해도, $f$가 영 이상한 특수함수가 아닌 이상 미적분해도 별 문제 없다.

$$a=0, \; f(0) + 2f(b) = f(f(b))$$

$$2f'(b) = f'(f(b))f'(b)$$

$f'(b) \neq 0$이라고 하면,  $f'(f(b)) = 2$

$t = f(b)$라 하자.

$$\int f'(t) \, dt = f(t) = 2t + C$$

$f'(t) \neq 0$이고, $f(t)$를 주어진 식에 대입했을 때 항등식이 나오므로, C를 정할 수 없다.

3. Another Approach

정석 풀이는 $f(x+1) - f(x) = C$의 꼴로 만들어서, $f(x)$가 일차식임을 보이고 풀더라.