[정수론] 615 + x^2 = 2^y에서 x와 y의 값은?

1. Question

다음을 만족하는 정수 $x$와 $y$를 구하라.

$$615 + x^2 = 2^y$$

2. Solution

조건을 정의해보자.

$x^2 > 0$이고 $2^9 = 512$이므로 $y > 9$.

이제 $x$의 변화에 따른 마지막 자리 숫자의 추이를 관찰해보면...

Fuction	1의 자리 숫자
$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$x^2$	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1
$615+x^2$	5	6	9	4	1	0	1	4	9	6

또한, $2^y$은 짝수이고 마지막 자릿수가 0이 나올 수 없으므로, 4와 6이 반복되는 패턴인 것을 알 수 있다.

마지막 자릿수가 4 또는 6이 나오려면, $y$역시 짝수여야 한다.

$y = 2z$라 하자.

그러면, $615 = 2^{2z}-x^2$가 성립한다.

또한, $615 = (2^z + x)(2^z - x)$까지 이어진다.

615를 소인수 분해하면, 3 * 5 * 41이다.

이를 통해 615를 두 수의 곱으로 나타내면 15 * 41, 3 * 205, 123 * 5의 세 후보가 있다.

$(2^z+x) + (2^z-x) = 2^{z+1}$이므로 두 수를 더 했을 때 $2^n$으로 표현되어야 한다.

123 + 5 = 128이므로 조건을 만족하고 $z=6, y = 12, x = 59$임을 알 수 있다.

$$615 + 59^2 = 2^{12}$$

$$615 + 3481 = 4096$$