[정수론] 2(2x + 1)^1/3 = x^3 - 1을 만족하는 실수 x를 구하라

1. Question

다음을 만족하는 실수 x를 구하라.

$$2\sqrt [3]{2x + 1} = x^3 - 1$$

2. Approach

$\sqrt[3]{2x + 1} = y \qquad\cdots1)$라 하자.

그러면 주어진 식은

$$2y = x^3 - 1$$

반면, 이 식을 x에 대해 정리하면

$$x = \sqrt[3]{2y + 1} \qquad\cdots2)$$

1)을 $f(x)$,  2)를 $f(y)$라 하면, 함수 $f$는 단조 증가함수인 것을 알 수 있고 $f(x)$와 $f(y)$는 역함수 관계임을 알 수 있다.

역함수의 특성으로 두 함수의 교점은 $y=x$와의 교점과 같으므로 다음의 해를 구하는 것과 같다.

$$2x = x^3 - 1$$

$$x^3 - 2x - 1 = 0$$

$$(x + 1)(x^2 - x - 1) = 0$$

근의 공식을 이용하여 $x^2 -x - 1$의 해를 구하면

$$x = {1 \pm \sqrt {5} \over 2}$$

따라서, 조건을 만족하는 x의 값은

$$\therefore x = -1, {1 \pm \sqrt {5} \over 2}$$