[기초대수] 복잡한 세제곱근 값 계산

1. Question

$\sqrt[3]{8+3 \sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3 \sqrt{21}}$의 값은?

2. Approach

$a = 8+3 \sqrt{21}$
$b = 8-3 \sqrt{21}$
$x = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$라 하자.

그러면,
$$\begin{matrix} x^3 &=& (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^3 \\ &=& a + b + 3 \sqrt[3]{ab}( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \end{matrix}$$

$ab = 64 -189 = -125$이므로,

$$\begin{matrix}x^3 &=& 16 -15x \\ x^3+15x -16 &=& 0 \\ (x-1)(x^2+x+16) &=& 0 \end{matrix}$$

$x^2+x+16$의 판별식 $D = 1^2 - 64 \le 0$이므로, $x$는 1이외의 실근을 가지지 않는다.