[기초대수] 방정식 - 치환

1. Question

$(x + \sqrt{1+x^2})(y + \sqrt{1+y^2})=1$ 일 때,

$(x+y)^2$의 값은?

2. Approach

주어진 식을 그대로 놔두고 있으면 대입하기 ㅈ같음.

간단한 형태로 치환하면 훨씬 써먹기 좋을 것 같다.

$s = x + \sqrt{1+x^2}$

$t = y + \sqrt{1+y^2}$

$st = 1$라 하면,

$x = {s^2 - 1 \over 2s}$

$y = {t^2 - 1 \over 2t}$

이들을 $(x+y)^2$에 대입하면,

구하고자 하는 값은 $({s^2 - 1 \over 2s} + {t^2 - 1 \over 2t})^2$으로 나타낼 수 있다.

이를 통분하면, ${-s-t + st(s+t) \over 2st}$

그런데, $st = 1$이므로 분자가 0이다.

따라서, 답은 0

3. Another Solution

$x + \sqrt{1+x^2}$만 $u$로 치환하는 방법도 있다.

그러면 $u(y + \sqrt{1+y^2})=1$이고, $1 + y^2 = ({1 \over u} - y)$

정리하면, $1 = {1 \over u^2} - {2y \over u}$이고, $y = {1 \over 2}({1 \over u} - u)$

한편, ${1 \over u} = {1 \over x + \sqrt{1 + x^2}} = -x + \sqrt{1+x^2}$

따라서, $y = {1 \over 2}(-x + \sqrt{1+x^2} - (x + \sqrt{1+x^2}) = -x$

따라서, 답은 0