[평면기하] 방멱을 통한 원의 반지름 구하기

1. Question

원의 반지름의 값은?

2. Approach

방멱의 정리에 의해, $xw = yz$이다.

따라서, $y = 4$

또한 보조선이 필요하다.

원의 중심에서 x-w 선에 수선의 발을, y-z선에 수선의 발을 내린다.

그리고는 원의 중심과 y-z선이 이루는 직각삼각형을 만들 수 있다.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 항상 현을 이등분하므로, 직각 삼각형의 밑변과 높이를 알 수 있다.

$$\therefore, \; r^2 = {y+z \over 2} + {x - w \over 2}$$

$$r = {\sqrt{65} \over 2}$$

3. Another Solution

해석기하로도 풀 수 있다. 원의 중심을 $(p, q)$ 그리고 두 직선의 교차점을 원점으로 두면,

다음과 같은 원의 방정식이 성립한다.

$$(-2-p)^2+q^2 = r^2$$

$$(6-p)^2+q^2 = r^2$$

두 식을 풀면, $p = 2$

$p =2$를 대입하면,

$$q^2 = r^2-16$$

$$2^2 + (-3-q)^2 = r^2$$

$$q = {1 \over 2}$$

이므로, $r = {\sqrt{65} \over 2}$