[문제적 남자] 10개의 문장을 보고 숫자를 찾아라

1. Question

참/거짓의 개수도 정해져 있지 않고 10개의 문장이 의미하는 숫자를 찾아야하는 보기만 해도 괴로운 문제.

2. Approach

일단 10개의 문장 중에서 정확하게 숫자를 지명하는 명제 5, 8은 모두 거짓일 수 없다. 왜냐하면 5와 8이 모두 거짓인 경우 숫자를 찾을 수 없기 때문.

$\therefore S_5 \lor S_8 \Rightarrow T$

6번을 보면, 이 문장이 거짓이 될 수 없음을 알 수 있다. 6번이 거짓이면, "이 문장은 마지막으로 참인 문장이다" 가 되는데, 이는 가정에 모순이다.

$\therefore S_6 \Rightarrow T$

2번을 자세히 보면 1번의 참, 거짓에 영향을 받는 것을 알 수 있다. 1번이 참이면 2번 명제는 참, 거짓 모두 불가능하다.

$\therefore S_1 \Rightarrow F$

또한 1번이 거짓이므로,

$S_9, S_{10} \Rightarrow F$

또한, 6번에 의해, 7번이나 8번중 적어도 하나는 참이다.

$\therefore S_7 \lor S_8 \Rightarrow T$

여기까지 중간 점검이다.

Statement #	Statement	Truth
1	9번과 10번중 적어도 하나는 참 -> 9, 10 둘 다 거짓	F
2	이 문장은 처음으로 참 또는 처음으로 거짓	?
3	연속으로 거짓인 3개의 문장이 존재	?
4	구하려는 수 % 마지막 참 문장 번호 - 처음 참 문장 번호 = 0	?
5	구하려는 수 = 참인 문장 번호들의 합	?
6	이 문장은 마지막으로 참인 문장이 아님	T
7	구하려는 수 % 각각의 참인 문장들의 번호 = 0	?
8	구하려는 수는 참인 문장의 퍼센트	?
9	구하려는 수의 약수의 개수 $>$ 참인 문장의 번호들의 합 ->구하려는 수의 약수의 개수 $\le$ 참인 문장의 번호의 합	F
10	연속으로 참인 3개의 문장이 존재 X -> 연속으로 참인 3개의 문장이 존재	F

 

이어서 만약 8번이 참이라면, 전체 문장이 10개이므로 구하려는 값은 10의 배수인 것을 알 수 있다.

$v_d = 10n \; (0 \le n \le 10)$

그러나, 6번이 참인데 반해 $v_d % 6 \ne 0$에 모순. 따라서 8번은 거짓. 7번과 8번중 적어도 하나는 참이므로 7번은 참.

8, 9, 10번이 연속으로 거짓이므로 3번은 참.

여기까지의 진행을 요약

Statement #	Statement	Truth
1	9번과 10번중 적어도 하나는 참 -> 9, 10 둘 다 거짓	F
2	이 문장은 처음으로 참 또는 처음으로 거짓	?
3	연속으로 거짓인 3개의 문장이 존재	T
4	구하려는 수 % 마지막 참 문장 번호 - 처음 참 문장 번호 = 0	?
5	구하려는 수 = 참인 문장 번호들의 합	?
6	이 문장은 마지막으로 참인 문장이 아님	T
7	구하려는 수 % 각각의 참인 문장들의 번호 = 0	T
8	구하려는 수는 참인 문장의 퍼센트	F
9	구하려는 수의 약수의 개수 $>$ 참인 문장의 번호들의 합  ->구하려는 수의 약수의 개수 $\le$ 참인 문장의 번호의 합	F
10	연속으로 참인 3개의 문장이 존재 X -> 연속으로 참인 3개의 문장이 존재	F

이제 7번에 의해 구하려는 수가 3과 6과 7을 약수로 갖는 수라는 것을 알 수 있다.

$v_d = 2^p3^q7^r (p, q, r \ge 1)$

그런데, 9번에 의해서, $(p+1)(q+1)(r+1) - 2$ (1과 자기 자신 제외) $\le$ sum of 참인 문장의 번호이다.

현재 상태에서, 약수의 개수는 6개이고 참인 문장의 번호의 합은 15이므로 조건을 만족한다.

따라서, 나머지 2, 4, 5번에 F를 때려박고 답은 42이다.

아... 훌륭하다.

는 답 확인해보니 틀림ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

3. Solution

알고보니 10번 체크를 안함, 연속해서 3개의 T를 만들어야 한다.

일단 5가 참이면, 조건 맞추기 어려우니까 저절로 2, 4번을 참이라고 가정하고 진행한다.

2번은 답에 영향을 미치지 않는다. 4번에 의해 7-2 = 5 역시 약수로 들어간다고 치면,

$v_d = 2^p3^q5^r7^s (p \ge 2. q, r,s \ge 1)$가 된다.

최소값을 때려박고 이들의 약수의 개수를 구하면 24 - 2 = 22이고, 참인 문장들의 번호 합은 2+3+4+6+7 = 22이므로 조건을 만족한다.

 

아깝다...